Ma trận chéo hóa được

• Các phép chiếu là chéo hóa được, với đường chéo gồm các số 0 và 1.
• Các ma trận đối xứng thực là chéo hóa được bởi các ma trận trực giao; tức là cho A {\displaystyle A} là ma trận đối xứng thực, ta có Q T A Q {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ} là ma trận đường chéo với Q {\displaystyle Q} trực giao. Tổng quát hơn, các ma trận chéo hóa được bởi ma trận unita khi và chỉ khi chúng là chuẩn tắc. Trong trường hợp ma trận đối xứng thực, ta thấy rằng A = A T {\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }} , nên A A T = A T A {\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A} tất nhiên đúng. Các ví dụ của ma trận chuẩn tắc gồm các ma trận thực đối xứng hoặc đối xứng chéo (ví dụ ma trận phương sai), các ma trận Hermite và Hermite chéo. Xem thêm điều này tại bài định lý phổ.

Ma trận không chéo hóa được

Ma trận của phép quay nói chung là không chéo hóa được trên trường số thực nhưng có thể trên trường số phức.

Một số ma trận không thể chéo hóa được trên bất kỳ trường nào, đáng chú ý nhất là các ma trận lũy linh khác không. Điều này thường xảy ra hơn nếu số bội đại số và số bội hình học của một giá trị riêng không bằng nhau.

Tuy nhiên, ngay cả khi một ma trận không chéo hóa được, ta vẫn luôn có thể thay vào đó tìm dạng chuẩn tắc Jordan của nó.

Một vài ma trận thực không chéo hóa được trên trường số thực. Xét ví dụ ma trận đối xứng chéo sau

B = [ 0 1 − 1 0 ] . {\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}

Ma trận B {\displaystyle B} không có giá trị riêng thực, vì vậy không tồn tại ma trận khả nghịch thực Q {\displaystyle Q} sao cho Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} là ma trận đường chéo. Tuy nhiên, ta có thể chéo hóa B {\displaystyle B} nếu cho phép dùng số phức. Thật vậy nếu ta chọn

Q = [ 1 i i 1 ] , {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}},}

thì Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} là ma trận đường chéo. Dễ tìm ra rằng B là ma trận của phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc θ = 3 π 2 {\displaystyle \theta ={\tfrac {3\pi }{2}}} .

Cách chéo hóa một ma trận

Chéo hóa ma trận là quá trình tương tự việc tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của nó, trong trường hợp các vectơ riêng tạo thành cơ sở. Ví dụ, xét ma trận

A = [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] . {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}

Các nghiệm của đa thức đặc trưng p ( λ ) = det ( λ I − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)} là các giá trị riêng λ 1 = 1 , λ 2 = 1 , λ 3 = 2 {\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2} . Giải hệ tuyến tính ( I − A ) ( v ) = 0 {\displaystyle (I-A)(\mathbf {v} )=0} ta có các vectơ riêng v 1 = ( 1 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)} và v 2 = ( 0 , 2 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)} , trong khi hệ ( 2 I − A ) ( v ) = 0 {\displaystyle (2I-A)(\mathbf {v} )=0} cho v 3 = ( 1 , 0 , − 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)} ; tức là A ( v i ) = λ i v i {\displaystyle A(\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}} với i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} . Các vectơ trên tạo thành một cơ sở của V = R 3 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}} , vì vậy ta có thể đặt chúng vào các vectơ cột của một ma trận chuyển cơ sở P {\displaystyle P} để có:

P − 1 A P   =   [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ]   =   [ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ]   =   D . {\displaystyle P^{-1}\!AP\ =\ \left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]\ =\ {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\ =\ D.}

Ta có thể hiểu phương trình này theo các biến đổi tuyến tính: P {\displaystyle P} chuyển cơ sở chuẩn tắc sang cơ sở riêng: P ( e i ) = v i {\displaystyle P(\mathbf {e} _{i})=\mathbf {v} _{i}} , vì thế ta có:

P − 1 A P ( e i )   =   P − 1 A ( v i )   =   P − 1 ( λ i v i )   =   λ i e i , {\displaystyle P^{-1}\!AP(\mathbf {e} _{i})\ =\ P^{-1}\!A(\mathbf {v} _{i})\ =\ P^{-1}\!(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})\ =\ \lambda _{i}\mathbf {e} _{i},}

sao cho ma trận P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}\!AP} nhận các vectơ cơ sở chuẩn tắc là các vectơ riêng của nó, đây là tính chất định nghĩa của ma trận D {\displaystyle D} .

Chú ý rằng không có thứ tự ưu tiên nào đối với các cột vectơ riêng trong P {\displaystyle P} ; việc đổi chỗ các vectơ riêng trong P {\displaystyle P} chỉ làm thay đổi thứ tự của các giá trị riêng trong dạng chéo của A {\displaystyle A} .[1]